domenica 10 giugno 2012

Pitagora. Avvezzati ad un regime di vita puro, senza mollezza; e guardati dal fare tutto ciò che ingenera invidia. Non fare spese non opportune come chi è ignaro del giusto; né sii troppo avaro: misura in ogni cosa è meglio. E non accogliere negli occhi ammolliti il sonno prima di avere ciascun atto del giorno passato in esame: In che errai? Che feci? Che cosa che dovevo non feci? Cominciando dal primo, atto per atto ripassa: e, dopo, se cose cattive hai fatto, di esse biasimati, se buone allietati. Fa ciò che non ti sarà dannoso: ma prima di fare riflettici.


Il movimento é caratteristico di qualsiasi oggetto o essere.
Anche ció che sembra inerte come una pietra possiede una certa frequenza di vibrazioni.
Pitagora

Impara a tacere. Lascia che la tua mente, quieta, ascolti e impari.
Pitagora

Uomo che ami PARLARE molto: ASCOLTA e diventerai simile al SAGGIO.
L'INIZIO DELLA SAGGEZZA E' IL SILENZIO.
Pitagora

Le scelte sono le cerniere del destino. Se non facciamo scelte, le porte del destino resteranno chiuse
Pitagora

Scegli sempre il cammino che sembra il migliore anche se sembra il più difficile:
l’abitudine lo renderà presto piacevole.
Pitagora


Preoccuparsi soprattutto di due momenti della giornata: di quando ci si addormenta e di quando ci si risveglia. Perché in entrambi occorre sottoporre a un esame gli atti già compiuti e quelli ancora da compiere, dando conto a se stessi delle azioni compiute e prevedendo quelle future.
Pitagora


Dà vita a dei buoni esempi: sarai esentato dallo scrivere delle buone regole.
Pitagora

Non chiamare gli dei a testimoni dei tuoi giuramenti, ma cerca di rendere te stesso degno di fede
Pitagora

Non permettere al tuo corpo di divenire la tomba della tua anima
Pitagora

Finchè gli uomini massacreranno gli animali, si uccideranno tra loro.
In verità, colui che semina il seme del dolore e della morte non può raccogliere amore e gioia.
Pitagora

Non fare ciò che non sai fare, ma impara tutto ciò che conviene sapere.
Pitagora


Gli uomini sono creatori dei propri mali. Infelici!
Ignorano che i veri beni sono alla loro portata dentro se stessi.
Pochi sono coloro che conoscono il modo di liberarsi dei propri tormenti.
È questa la cecità degli uomini che turba la loro intelligenza.
Non sospettando la funesta oscurità che li accompagna,
non sanno discernere ciò che è necessario e ciò che devono rifiutare senza ribellarsi.
Pitagora


Saprai che gli uomini soffrono mali da loro stessi scelti. Infelici che, avendolo vicino, il bene non vedono né intendono! Pochi conoscono il modo di liberarsi dai mali: a tal segno la Moira offusca la mente dei mortali!
Come trottole qua e là sono sospinti tra urti senza fine.
Funesta loro compagna, una congenita, inconscia irosità li mena a rovina, irosità alla quale conviene tu non dia esca, né che ad essa resista, ma che devi scansare.
Zeus padre, da tanti mali libereresti certamente gli uomini se rivelassi loro quale sia il loro vero daimone!
Pitagora


Avvezzati ad un regime di vita puro, senza mollezza; e guardati dal fare tutto ciò che ingenera invidia. Non fare spese non opportune come chi è ignaro del giusto; né sii troppo avaro: misura in ogni cosa è meglio. E non accogliere negli occhi ammolliti il sonno prima di avere ciascun atto del giorno passato in esame: In che errai? Che feci? Che cosa che dovevo non feci? Cominciando dal primo, atto per atto ripassa: e, dopo, se cose cattive hai fatto, di esse biasimati, se buone allietati.  Fa ciò che non ti sarà dannoso: ma prima di fare riflettici.
Pitagora

“Amici miei, evitate di corrompere il vostro corpo con cibi impuri; ci sono campi di frumento, mele così abbondanti da piegare gli alberi dei rami, uva che riempie le vigne, erbe gustose e verdure da cuocere. La terra offre una grande quantità di ricchezze, di alimenti puri, che non provocano spargimento di sangue né morte.”
Pitagora


Ti ho mai detto che cosa mi aveva attirato verso Pitagora? Il fatto che è stato lui ad inventare la parola amicizia. Lo sapevi? Quando gli chiesero che cosa era un amico, lui rispose: "Colui che è l'altro me stesso, come accade ai numeri 220 e 284". Due numeri sono "amici" o "amicabili" se ognuno di essi è la somma di tutti i divisori dell'altro (esclusi i numeri stessi). I due numeri amicabili più celebri del Pantheon pitagorico sono appunto 220 e 284, che formano una bella coppia. Puoi fare la prova se hai tempo. E noi due, siamo "amici"? Quali sono i tuoi divisori, Pierre? E i miei? Forse è arrivato il momento di fare la somma dei nostri divisori.
Denis Guedj - "Il teorema del pappagallo"



VERSI D’ORO DI PITAGORA
Venera prima di tutto gli dei immortali, come sono stati stabiliti dalla legge e tieni sacro il giuramento;
Quindi venera gli eroi gloriosi e i geni terrestri; compiendo ciò che è di legge;
E onora i genitori e i più vicini parenti; e degli altri fatti amico chi sia il migliore in virtù.
Condiscendi alle parole benigne e alle azioni utili, e non aver odio per il tuo amico a causa di lieve colpa, per quanto puoi:
CHE IL POTERE ABITA VICINO ALLA NECESSITÀ.
Così è, sappi quanto ho detto; quanto ti dico, impara a dominarlo:
il ventre per primo, e il sonno e la concupiscenza e l’ira; non fare mai cose turpi con gli altri né da solo e più che tutto abbi rispetto di te stesso.
Esercita la giustizia e negli atti e nelle parole e non affrontare nessuna situazione con leggerezza; si, tieni presente che morire è destino di tutti.
I beni materiali poi trova giusto ora acquistarli ora perderli. E di quanti dolori per divin fato toccano ai mortali, la parte che a te tocchi, sopportala senza indignarti; che vi rimedi è giusto per quanto puoi; ma questo che ti dico considera:
IL FATO AI BUONI NON DÀ TANTI DOLORI.
Agli uomini capita di ascoltare molti discorsi e buoni e cattivi: di essi non impressionarti, né aver timore quando li ascolti; e ove cosa falsa si dica con dolcezza ritraiti.
CIO’ CHE ORA TI DICO IN OGNI CASO OSSERVALO:
Nessuno ti induca né con la parola né con atto a fare né a dire cosa che non ti convenga.
Rifletti bene prima di agire affinché atti stolti non ne seguano, che fare e dire cose stolte è da uomo meschino;
Sì, fai quelle cose che fatte non ti angustieranno, non fare nessuna delle cose che non sai, ma impara quando abbisogna e la più lieve vita in tal modo trascorrerai.
Neanche la salute del corpo è da trascurare: ma e nel bere misura e nel mangiare e nella ginnastica si osservi: chiamo misura quella che non ti recherà molestia.
Avvezzati ad un regime di vita puro, senza mollezza; e guardati dal fare tutto ciò che ingenera invidia.
Non fare spese non opportune come chi è ignaro del giusto; né sii troppo avaro: misura in ogni cosa è meglio.
Fa ciò che non ti sarà dannoso: ma prima di fare riflettici.
E non accogliere negli occhi ammolliti il sonno prima di avere ciascun atto del giorno passato in esame: In che errai? Che feci? Che cosa che dovevo non feci? Cominciando dal primo, atto per atto ripassa: e, dopo, se cose cattive hai fatto, di esse biasimati, se buone allietati.
A questo adoperati, questo pratica, questo devi amare: questo ti metterà sulle orme della virtù divina.
Si, per colui che alla nostra anima trasmise il numero quaternario, sorgente dell’eterna natura.
Ma nel fare qualsiasi compito prega gli Dei di portarlo a termine.
Se ti sarai reso padrone di queste cose, arriverai a conoscere l’essenza sia degli immortali che degli uomini mortali, sin dove le singole cose differiscono e sin dove tra loro concordino; e arriverai a conoscere, fin dove è concesso, che la natura è in tutto simile a se stessa:
Di modo che non spererai cose non sperabili né alcunché ti resterà nascosto.
E arriverai a conoscere che gli uomini hanno i mali che da sé si sono scelti, infelici, essi che i beni che hanno vicini né scorgono, né intendono: sciogliersi dai mali pochi sanno.
Tale il destino che svia la mente dei mortali:
A guisa di oggetti che rotolano, sono portati ora qua ora là, soffrendo mali infiniti: CHE A LORO INSAPUTA, LI TRAVIA, FUNESTA COMPAGNA, LA CONTESA IN ESSI INNATA, LA QUALE NON VA STIMOLATA BENSÌ CEDENDO EVITATA.
Giove padre, di molti mali per certo libereresti tutti, se a tutti mostrassi qual è il loro destino. Ma tu fatti animo che i mortali, ai quali la sacra natura mostra chiaramente tutte le cose rivelandole, sono di stirpe divina.
Se tu vi partecipi, dominerai ciò che ti ordino e, guarita che avrai la tua anima, da queste pene ti salverai.
Ma astieniti dai cibi che ti dicemmo: e nelle purificazioni come nella liberazione dell’anima usa discernimento e pondera ogni cosa, ponendoti a guida la RAGIONE che viene dall’Alto, l’Eccellente.
E se lasciandoti dietro il corpo, al libero etere pervieni, sarai immortale, dio esente da morte, non più mortale.




DifendiAMO La Cultura:
Pitagora di Samo. Scienziato, filosofo, legislatore, la vita di Pitagora è ammantata di leggenda. Nato nel VI secolo a.C., Pitagora è stato oggetto di diverse biografie, che spesso ne hanno suggerito una natura divina e hanno mischiato i suoi insegnamenti scientifici, la sua dottrina religiosa e il suo celeberrimo teorema con quello dei cosiddetti pitagorici. PRECORRITORE DEL VEGETARIANESIMO, POLITICO, FONDATORE DI UNA SETTA CHE VEDEVA NELLA CONOSCENZA - COMPRESA QUELLA SCIENTIFICA - LA VIA DI PURIFICAZIONE E DI CATARSI DELL'ANIMA, Pitagora è una figura tanto antica quanto ancora portatrice di contenuti per la contemporaneità.
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LA SCUOLA DI ATENE è un affresco (770×500 cm circa) di Raffaello Sanzio, databile al 1509-1510 e situato nella Stanza della Segnatura, una delle quattro "Stanze Vaticane", poste all'interno dei Palazzi Apostolici. Rappresenta UNA DELLE OPERE PITTORICHE PIÙ RILEVANTI DELLO STATO DELLA CITTÀ DEL VATICANO, visitabile all'interno del percorso dei Musei Vaticani. L'EVOCAZIONE DEGLI UOMINI ILLUSTRI DEL PASSATO VENNE COLLEGATA INDISSOLUBILMENTE AL PRESENTE, DANDO TALVOLTA AGLI UOMINI ANTICHI LE FATTEZZE DI PERSONAGGI CONTEMPORANEI. Probabilmente nelle figure dell'affresco erano riconoscibili i personaggi della corte pontificia, tra cui umanisti, letterati e principi. Per la critica moderna però, nella generale scarsità di fonti attendibili, scritte o iconografiche, si identifica soprattutto un nutrito gruppo di artisti. Già VASARI MENZIONÒ I RITRATTI DI FEDERICO II GONZAGA, BRAMANTE, E RAFFAELLO STESSO. Particolarmente conosciute, ma non sempre documentate, sono le IPOTETICHE RAFFIGURAZIONI DI MICHELANGELO NELLA FIGURA DI ERACLITO, LEONARDO DA VINCI COME PLATONE E BRAMANTE COME EUCLIDE. La figura di Michelangelo, come si è già accennato, venne aggiunta in un secondo momento e nello stile riecheggia le magniloquenti torsioni del collega, con un forte risalto plastico. Controversa è poi l'identificazione di Francesco Maria Della Rovere nel giovane stante vestito di bianco. La presenza degli artisti nell'affresco ribadiva l'elevazione del loro mestiere tra le arti liberali, secondo lo spirito pienamente rinascimentale.
(isabella)




John David Barrow. I pitagorici e gli scandalosi numeri irrazionali.
Pitagora e i suoi seguaci consideravano i numeri come la genuina essenza delle cose, vedendo nell’aspetto numerico una rappresentazione simbolica del significato dell’universo. Noi siamo abituati a considerare i numeri come descrizioni di insiemi di cose o come relazioni tra le cose; i pitagorici, invece, erano profondamente legati a un’antica credenza mistica riguardo al significato dei numeri stessi. Così un particolare, come il 4, aveva sia una rappresentazione simbolica sia un significato simbolico. Pitagora e i suoi discepoli trasformarono la matematica in una religione mistica in cui i numeri erano segni e simboli di un sapere occulto, posto dietro il mondo delle apparenze, che poteva essere raggiunto solo grazie a una capacità di interpretazione particolarmente acuta. Alla fine, però, si verificò una singolare crisi che scosse dalle fondamenta il credo della setta. I pitagorici erano convinti che tutti i numeri fossero di due tipi: o numeri interi (come 1, 2, 3, …, e così via) o frazioni come 1/2, 4/5, 2/7, …, e così via), ottenute dividendo un qualsiasi numero intero per un altro numero intero. Questi numeri erano chiamati numeri «razionali». Ma il famoso teorema relativo ai triangoli che porta il nome di Pitagora rivelò che, se si disegnava un quadrato di lato pari a un’unità di lunghezza, la lunghezza della diagonale che congiungeva due qualsiasi vertici opposti del quadrato aveva un valore che noi chiamiamo radice quadrata di 2. Nonostante tutti i tentativi fatti con i più sperimentati procedimenti sistematici, i pitagorici non riuscivano a esprimere questo numero come rapporto tra due numeri interi, cioè come frazione. Alla fine fu dimostrato che la radice quadrata di 2 non poteva essere espressa in alcun modo come rapporto di due numeri interi: si trattava di un numero di tipo nuovo e strano, cui inizialmente i pitagorici diedero il nome di ‹árreton›, indicibile, cioè inesprimibile – sotto forma di rapporto. In seguito questi sconcertanti numeri furono chiamati «numeri irrazionali», termine che era inteso a riflettere la medesima idea di inesprimibilità. I numeri come la radice quadrata di 2 apparivano scandalosi ai pitagorici perché non potevano essere misurati con precisione con uno strumento di misura. Ciò costituiva una sfida per la loro fede nel potere fondamentale dei numeri di governare l’universoSe non riuscivano ad avere ragione di una cosa così banale come la diagonale di un quadrato, la loro intera religione era minacciata. Questo risultato appariva tanto più inquietante perché, a partire da esso, si poteva costruire una serie infinita di altri numeri irrazionali, cominciando dalle radici quadrate di 3, 5, 6 e 7. Esso, inoltre, apriva una spaccatura tra l’aritmetica, che era in grado di creare questi strani numeri «irrazionali», e la geometria, che non era in grado di misurarli.

Secondo la tradizione, quando questi numeri irrazionali furono scoperti, la cosa fu mantenuta segreta dalla confraternita perché non si spargesse la notizia che c’erano numeri tali da sfidare le dottrine pitagoriche. Ippaso commise il peccato di violare il giuramento di segretezza e di rivelare questa terribile verità, e fu affogato. Secondo un commentatore più tardo, «l’indicibile e l’informe dovevano essere tenuti segreti; coloro che svelavano e sfioravano questa immagine della vita ne erano istantaneamente distrutti e dovevano rimanere in balia delle onde eterne». C’è però da sospettare che, come i membri di molte società segrete, i pitagorici si prendessero un po’ pù sul serio di quanto li prendessero gli estranei.”
JOHN DAVID BARROW (1952), “La luna nel pozzo cosmico. Contare, pensare ed essere”, trad. di Tullio Cannillo, Adelphi, Milano 1994 (I ed.), 1. ‘Dal mistero alla storia’, ‘La società segreta’, pp. 28 – 30.




Cenni storici.
La scoperta dei numeri irrazionali viene tradizionalmente attribuita a Pitagora, o più precisamente al pitagorico Ippaso di Metaponto, che produsse una argomentazione (probabilmente con considerazioni geometriche) dell'irrazionalità della radice quadrata di 2. Secondo la tradizione Ippaso scoprì i numeri irrazionali mentre tentava di rappresentare la radice quadrata di 2 come frazione (vedi la dimostrazione sotto). Tuttavia Pitagora credeva nell'assolutezza dei numeri, e non poteva accettare l'esistenza dei numeri irrazionali. Egli non era in grado di confutare la loro esistenza con la logica, ma le sue credenze non potevano tollerarne l'esistenza e, secondo una leggenda, per questo condannò Ippaso a morire annegato.
https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_irrazionale

Ippaso di Metaponto: la nascita dei numeri irrazionali
“Tutto è Numero”


pitagora.gif

Il motto di Pitagora sembrava la chiave per svelare i segreti dell’universo, i numeri ed i loro rapporti. Ma il cammino della conoscenza non è mai troppo facile, anzi è impervio ed insidioso. E così saltò fuori un bel problema.

Ci si accorse, a partire dalla semplice figura del quadrato, che il lato e la diagonale avevano lunghezze che non erano esprimibili attraverso un rapporto di due numeri interi. Erano dunque incommensurabili.

Fu un vero e proprio terremoto. Come reagirono i pitagorici? Sicuramente l’atteggiamento non fu dei più lodevoli. Continuarono a divulgare le loro teorie, cercando di tenere nascosto tale aspetto. Magari prima o poi si sarebbe trovata una soluzione, quindi meglio non dire nulla. Ma come spesso succedere, prima o poi la verità viene a galla. E qualcuno parlò.


Il “traditore” fu Ippaso di Metaponto. La reazione dei pitagorici fu durissima: fu bandito e gli fu costruito, quantunque ancora in vita, un monumento funebre. Morì poco tempo dopo vittima di un naufragio, secondo la leggenda, per volere di Zeus adirato.

Scrive il filosofo greco Proclo:
I pitagorici narrano che il primo divulgatore di questa teoria [degli irrazionali] fu vittima di un naufragio; e parimenti si riferivano alla credenza secondo la quale tutto ciò che è irrazionale, completamente inesprimibile e informe, ama rimanere nascosto; e se qualche anima si rivolge ad un tale aspetto della vita, rendendolo accessibile e manifesto, viene trasportata nel mare delle origini, ed ivi flagellata dalle onde senza pace”.

Ma la conoscenza non lascia nulla nascosto. Così nacquero i numeri irrazionali. Sono quei numeri che non sono esprimibili con un rapporto di interi, come le radici quadrate, cubiche, come la sezione aurea o il pi greco. Sono quei numeri il cui sviluppo decimale, ossia dopo la virgola, procede all’infinito.

Fu così che l’infinito approdò sulle rive della matematica e del pensiero…
https://micheblog.wordpress.com/2008/02/08/ippaso-di-metaponto-la-nascita-dei-numeri-irrazionali/



UN GIALLO pitagorico
PREMESSA
Come è morto Ippaso da Metaponto? chi lo ha ucciso e perché?
A distanza di 25 secoli questo giallo è ancora irrisolto.
Ma chi era Ippaso e che ragioni avevano i Pitagorici per eliminarlo?
Addentriamoci in questo giallo partendo dal profilo della vittima,
cercheremo poi il movente e infine faremo le nostre ipotesi sui colpevoli.
Seguendo le tracce di Ippaso incontreremo anche oggetti matematici molto strani ma,
proprio per questo, molto interessanti.

LA VITTIMA: IPPASO DA METAPONTO
Ippaso da Metaponto è considerato la personalità più rilevante della scuola pitagorica antica dopo il fondatore. Giamblico gli attribuisce la descrizione del dodecaedro regolare e la dimostrazione della sua iscrivibilità in una sfera. Ma la scoperta che gli risulterà fatale sarà l'esistenza di grandezze incommensurabili che scalfiva la perfetta razionalità del sistema pitagorico.
Ippaso, trasgredendo alle rigide regole della scuola, divulgò questo risultato.
Questo, per la scuola Pitagorica, fu una colpa gravissima !!!


IL MOVENTE: IL CROLLO DI UN EDIFICIO PERFETTO
Per comprendere il movente di questo presunto omicidio dobbiamo ricordare che, per la Scuola Pitagorica, tutto e’ numero. Il mondo e la sua armonia erano basati sui numeri interi e sui loro rapporti; i rapporti fra numeri interi davano origine ai numeri “razionali” e su di essi i pitagorici avevano costruito un edificio coerente per l’interpretazione del mondo. Ma……
…..ma, come conseguenza del teorema di Pitagora applicato ad un triangolo rettangolo isoscele, improvvisamente l’edificio così faticosamente costruito subì una scossa paragonabile ad un terribile terremoto .

LA FINE DI UN TRADITORE
Ippaso aveva trasgredito ad una delle regole fondamentali della scuola pitagorica divulgando all’esterno la scoperta dei numeri irrazionali che metteva in crisi le basi su cui la scuola si fondava. Per il suo tradimento, Ippaso venne messo al bando dai pitagorici che, si racconta, gli innalzarono un monumento funebre, perché fosse chiaro che per loro era morto. Si narra anche, ma è sempre leggenda, che lo stesso Giove, adirato contro di lui, lo fece perire in un naufragio.

Il filosofo greco Proclo (412 - 485 d. C.) scrive a questo proposito:
"I pitagorici narrano che il primo divulgatore di questa teoria [degli irrazionali] fu vittima di un naufragio; e parimenti si riferivano alla credenza secondo la quale tutto ciò che è irrazionale, completamente inesprimibile e informe, ama rimanere nascosto; e se qualche anima si rivolge ad un tale aspetto della vita, rendendolo accessibile e manifesto, viene trasportata nel mare delle origini, ed ivi flagellata dalle onde senza pace".
http://iomatematico.altervista.org/pitagora/un_giallo_pitagorico.html



Concetto di infinito nel mondo antico
Nel mondo antico, popoli come quello babilonese o egizio non presero mai in esame l’infinito,  non per mancanza di capacità intellettuali,ma semplicemente per il fatto che nei loro problemi pratici l’infinito né compariva, né destava interesse.

Fu invece nell’antica Grecia che grandi matematici e filosofi cominciarono a dibattere e ad interrogarsi sul concetto di infinito. [...]
Nel mondo greco antico il concetto di infinito fu elaborato con numerose accezioni negative.
Si riteneva infatti conoscibile solo ciò che era finito e determinato e di conseguenza impensabile un infinito attuale, cioè concreto e visibile. Tale rifiuto ad ammettere l’infinito attuale nella matematica greca  e più generalmente un diffuso disinteresse delle civiltà antiche per l’infinito è detto
horror infiniti”.

Già Anassimandro (6 sec. a.C.) identificò l’archè, il principio, nell’apeiron  una sorta di infinito / indefinito da cui scaturiscono tutte le cose.

Pitagora fu forse il primo filosofo/matematico che realmente ebbe a che fare col concetto di infinito.
La matematica pitagorica è basata sul concetto di “discontinuità”, in quanto essa si fonda esclusivamente sui numeri interi e non irrazionali e dunque l’accrescimento di una grandezza procede per “salti discontinui”, essendo impossibile aggiungere qualcosa che sia minore dell’unità.

In questa visione del mondo tutti gli oggetti erano costituiti da un numero finito di monadi, particelle minuscole simili agli atomi. Due grandezze, dunque, potevano essere espresse con un numero intero ed erano tra loro commensurabili, ammettevano cioè un comune denominatore.

Il pensiero pitagorico verrà messo in crisi dalla scoperta delle grandezze incommensurabili (ovvero che non ammettono denominatori comuni con altre grandezze ), elaborata all’interno della scuola stessa e custodita come un segreto inconfessabile.
La scoperta partì del celeberrimo teorema di Pitagora:
applicando il teorema su un triangolo rettangolo isoscele, che risulta essere metà di un quadrato, notiamo che il rapporto tra ipotenusa e cateto così come tra lato e diagonale del quadrato è uguale a √2 questo numero è decimale, ma irrazionale significa cioè che per determinare le sue cifre dopo la virgola, che sono del tutto casuali, sarà necessario procedere nell’infinitamente piccolo:                          
1,414213562….

Ciò comporta che lato e diagonale siano grandezze incommensurabili e che dunque non sono più come si pensava composti da un numero finito di punti, ma da un infinità di punti.
Per la prima volta si parla di un infinito concreto e non potenziale.

Va dunque attribuito ai pitagorici il merito di aver individuato uno dei più complessi “labirinti” mentali del pensiero umano: il rapporto tra continuo e discontinuo.

Successivamente, nel V secolo, il filosofo Anassagora che compì degli studi sul problema dell’infinita divisibilità, affermava: “non v’è mai un limite minimo del piccolo, ma v’è sempre un più piccolo, essendo impossibile che ciò che è cessi di essere per divisione”.

Molti interpretano tale affermazione come appunto infinita divisibilità  di ogni cosa e dunque alcuni storici della matematica hanno voluto vedervi una primitiva idea del limite.

Anassagora però continua:
“ma anche nel grande v’è sempre un maggiore.
Ed è uguale in estensione al piccolo: di per sé ogni cosa è insieme e grande e piccola…”.

In questo senso è più corretto interpretare la duplice progressione del grande e del piccolo non tanto come infinita divisibilità, ma piuttosto come infinita relatività di tutte le cose reali:
ogni cosa è contemporaneamente grande e piccola a seconda del punto di vista da cui viene osservata.

In questo dibattito intervenne soprattutto Aristotele il quale sostenne con decisione la continuità delle grandezze geometriche insieme alla loro infinita divisibilità.

Per comprendere il concetto di infinito di Aristotele occorre distinguere fra  Infinito in atto e Infinito in potenza, intendendo per Infinito potenziale la possibilità di aggiungere sempre qualcosa a una quantità determinata senza che ci sia un elemento ultimo; è d’altronde impossibile che “l’infinito in atto sia” inteso come collezione infinita, compiutamente data, di tutti i punti di una grandezza.

Non si può retrocedere all’infinito.
Si può soltanto retrocedere e avanzare passo per passo.
Aristotele affermava “il numero è infinito in potenza, ma non in atto …
Questo nostro discorso non intende sopprimere per nulla le ricerche dei matematici, per il fatto che esso esclude che l’infinito per accrescimento sia tale da poter essere percorso in atto. In realtà essi stessi allo stato presente non sentono il bisogno di infinito, ma di una quantità più grande quanto essi vogliono, ma pur sempre finita…”

Da tale affermazione possiamo dedurre che l’unica accezione di infinito accettata da Aristotele era l’infinito potenziale inteso come “divenire”.

Un numero o una qualsiasi altra quantità, è potenzialmente in grado di tendere all’infinito, aumentandola ogni volta di poco, ma ogni volta risulterà un entità finita. Ad esempio nei numeri naturali aggiungendo ogni volta un’unità ad un numero si otterranno quantità finite, ma che sembrano potenzialmente in grado di tendere all’infinito.

L’infinito per Aristotele deve essere considerato come qualcosa sempre in via di nascere o di perire, di crescere o diminuire e che, mantenendosi in ogni suo stato finito è sempre diverso nei suoi successivi stati (cfr www. Matematica.uni-bocconi.it).

Nega l’esistenza di un infinito attuale fisico come nega l’esistenza di una infinito attuale mentale.

Il termine usato in greco per designare l’infinito è “apeiron” (senza limiti, dunque illimitato).

La difficoltà inerente all’infinito consiste perciò nella sua inesauribilità:
l’infinito non può mai essere presente nella sua totalità nel nostro pensiero.
L’illimitato non può essere in nessun caso considerato come un tutto completo.
Ciò che è completo ha una fine e la fine è elemento limitante.
Aristotele dunque associa indissolubilmente all’infinito un’idea negativa espressione della sua incompletezza e potenzialità non attuata e non attuabile.

Proprio questa idea negativa porta al rifiuto di introdurre l’infinito attuale nella matematica greca.

Bibliografia
Gianni Micheli, Voce Infinito in Enciclopedia Einaudi. Torino Einaudi, 1980.
Ludovico Geymonat, Storia del pensiero filosofico e scientifico, vol.1: l’antichità. Il Medioevo. Milano, Garzanti, 1970.

Sitografia
www.polito.it
www.uni-bocconi.it
http://lcalighieri.racine.ra.it/pescetti/ricerca_infinito_2004_05/somm_greci/infi_greci.htm




La tetraktys pitagorica.
Per Pitagora (575 a.C. circa - 495 a.C. circa) la successione aritmetica dei primi quattro numeri naturali, geometricamente disposti secondo un triangolo equilatero di lato quattro, ossia in modo da formare una piramide, aveva anche un significato simbolico: 
a ogni livello della tetraktys corrisponde uno dei quattro elementi.

- 1º livello. Il punto superiore: l'Unità fondamentale, la compiutezza, la totalità, il Fuoco
- 2º livello. I due punti: la dualità, gli opposti complementari, il femminile e il maschile, l'Aria
- 3º livello. I tre punti: la misura dello spazio e del tempo, la dinamica della vita, la creazione, l'Acqua
- 4º livello. I quattro punti: la materialità, gli elementi strutturali, la Terra.




Pitagora. La musica delle sfere.

Pitagora e il Monocorde
tratto da: "IL POTERE DI GUARIGIONE DEI SUONI" di Jonathan Goldman
Nell'antica Grecia, IL DIO APOLLO ERA LA DIVINITÀ DELLA MUSICA E DELLA MEDICINA.
Esistevano TEMPLI DI GUARIGIONE CHE USAVANO LA MUSICA COME FORZA PRINCIPALE PER ARMONIZZARE CORPO E SPIRITO.
Uno dei pensatori greci più lungimiranti che continua ad influenzare con il suo pensiero la nostra cultura è PITAGORA, un filosofo del VI secolo a.C., conosciuto al giorno d'oggi come il PADRE DELLA GEOMETRIA.
Fu anche il primo intellettuale occidentale a mettere in chiaro le RELAZIONI TRA GLI INTERVALLI MUSICALI.
La chiave di questa scoperta fu uno strumento molto semplice chiamato MONOCORDE, COSTITUITO DA UNA SOLA CORDA TIRATA SU UNA STRUTTURA IN LEGNO.
Usando il monocorde, Pitagora fu in grado di scoprire che LA DIVISIONE MUSICALE CREATA DALL'UOMO DAVA ORIGINE A DETERMINATI RAPPORTI.
Esaminando gli intervalli creati da questa divisione, Pitagora scoprì che TUTTI I RAPPORTI NUMERICI POTEVANO ESSERE ESPRESSI.
Questi rapporti numerici, come 2:1, 3:2, 4:3, erano ARCHETIPI DELLA FORMA, dato che erano DIMOSTRAZIONI DELL'ARMONIA E DELL'EQUILIBRIO CHE SI POTEVANO OSSERVARE IN TUTTO IL MONDO.
Se, per esempio, una corda viene divisa in 2 parti uguali, la nota che essa produce è di un'ottava più alta della nota prodotta dalla corda intera. Le due parti uguali vibrano in un rapporto di 2 a 1(2:1). Se, poi, la corda viene divisa in 3 parti uguali, la corda vibra in un rapporto di 3 a 1(3:1). Quando la corda è divisa in 4 parti uguali, questa crea un rapporto di 4 a i (4:1).
Tornando ai rapporti sviluppati dalle corde armoniche, è evidente che la divisione della corda effettuata dall'uomo segue esattamente i rapporti delle serie armoniche.
È probabile che LA NOSTRA COMPRENSIONE DEI RAPPORTI E DEL SISTEMA MATEMATICO CHE LI GOVERNA SI BASI SULLE OSSERVAZIONI DI PITAGORA IN CAMPO MUSICALE.
Si dice che abbia detto: "STUDIATE IL MONOCORDE E SCOPRIRETE I SEGRETI DELL'UNIVERSO".
Dallo studio di un unica corda vibrante si potrebbero scoprire gli ASPETTI MICROCOSMICI della vibrazione sonora e, grazie a questo, si potrebbero studiare le LEGGI MACROSCOPICHE che regolano il cosmo.
PITAGORA CREDEVA CHE L'UNIVERSO FOSSE UN IMMENSO MONOCORDE, UNO STRUMENTO CON UNA SOLA CORDA TIRATA TRA IL CIELO E LA TERRA.
L'ESTREMITÀ SUPERIORE DELLA CORDA ERA LEGATA ALLO SPIRITO ASSOLUTO, MENTRE L'ESTREMITÀ INFERIORE ERA LEGATA ALLA MATERIA ASSOLUTA.
ATTRAVERSO LO STUDIO DELLA MUSICA COME UNA SCIENZA ESATTA È POSSIBILE CONOSCERE TUTTI GLI ASPETTI DELLA NATURA.
Egli applicò le sue leggi sugli intervalli armonici a tutti i fenomeni naturali, dimostrando la RELAZIONE ARMONICA INSITA IN ELEMENTI, PIANETI E COSTELLAZIONI.
Pitagora parlò di "MUSICA DELLE SFERE".
Pensava che I MOVIMENTI DEI CORPI CELESTI CHE SI SPOSTAVANO NELL'UNIVERSO PRODUCESSERO UN SUONO.
Questi suoni potevano essere percepiti da chi si era preparato con coscienza ad ascoltarli.
La Musica delle Sfere poteva anche essere suonata negli intervalli delle corde pizzicate.
Per Pitagora ed i suoi studenti la Musica delle Sfere era più di una metafora.
SI DICEVA CHE IL MAESTRO GRECO FOSSE IN GRADO DI SENTIRE I SUONI DEI PIANETI CHE VIBRAVANO NELL'UNIVERSO.
Per secoli gli scienziati hanno fatto ipotesi sulla RELAZIONE TRA IL MOVIMENTO DEI CORPI CELESTI ED IL SUONO.
Recentemente, usando avanzati principi matematici basati sulle velocità orbitali dei pianeti, un gruppo di scienziati ha abbinato differenti suoni a differenti pianeti.
SEMBRA CHE ESISTA UN'INCREDIBILE RELAZIONE ARMONICA.
Forse questo antico maestro era davvero dotato di un udito in grado di percepire i movimenti astronomici come suono.
Nell'esempio musicale degli armonici, la loro creazione è spiegata dai rapporti matematici osservati sulla corda pizzicata.
In realtà gli armonici sono una manifestazione di tutte le forme di vibrazione.
L'UDITO È LIMITATO AD OGGETTI CHE VIBRANO CON FREQUENZE TRA I 16 ED I 25.000 HZ (le vibrazioni comprese in questo campo sono percepite come suoni udibili), ma questo non significa che, SOLO PERCHÉ NON POSSIAMO ASCOLTARE SUONI AL DI SOPRA O AL DI SOTTO DI QUESTI LIMITI NON CI SIAMO ONDE SONORE IMPERCETTIBILI OVUNQUE.
Tutto ciò che vibra genera armonici.
Poiché L'UNIVERSO È COMPOSTO UNICAMENTE DI VIBRAZIONI, OGNI COSA CREA NOTE FONDAMENTALI CON ARMONICI, DAGLI ELETTRONI CHE RUOTANO ATTORNO AL NUCLEO AI PIANETI CHE ORBITANO ATTORNO AL SOLE.
Pitagora aveva una scuola sull'isola di Crotone, dove insegnava le sue spiegazioni ai fenomeni dell'universo.
L'antica scuola misterica operava a tre livelli di iniziazione.
Il primo livello, quello degli "acoustici", insegnava a riconoscere ed a mettere in pratica le varie proporzioni musicali, spiegate utilizzando il monocorde.
Il secondo livello, quello dei "matematici", approfondiva il discorso con la conoscenza dei numeri, ma anche con la purificazione individuale e l'autocontrollo mentale.
Prima di accedere al livello successivo era necessario che il discepolo fosse pienamente consapevole nel corpo e nello spirito delle responsabilità legate alle sacre informazioni che stava per ricevere.
Il terzo e più alto livello di iniziazione, quello degli "electi", portava all'apprendimento di procedimenti segreti di TRASFORMAZIONE FISICA E DI GUARIGIONE CON IL SUONO E LA MUSICA.
Ben poco è sopravvissuto degli insegnamenti iniziatici più elevati della scuola di Pitagora. Gli insegnamenti relativi ai suoi teoremi di geometria e delle proporzioni musicali sono parte delle nostre conoscenze attuali in campo numerico e acustico.
I suoi concetti filosofici, come la Musica delle Sfere, continuano a trovare posto nelle dottrine esoteriche.
Ma fino ad ora, i segreti sull'uso del suono e della musica a scopo curativo sono andati perduti.
Si dice che Pitagora morì quando la sua scuola a Crotone andò in fiamme.
Alcuni suoi studenti proclamarono di aver tramandato i suoi segreti insegnandoli ad altri discepoli in altre terre.






Pitagora
Fuggito dalla Grecia, in particolare da Samo, perchè perseguitato dal Tiranno Policrate per le sue idee politiche, venne in Magna Grecia. Scelse Kroton in Calabria per attuare la sua idea di governo.
A Kroton vigeva il governo dei mille, una sorta di oligarchia delle famiglie aristocratiche.
Pitagora pose sopra questo il consiglio dei Pitagorici.
La Scuola Pitagorica da lui fondata a Kroton prese piede in tutta la Magna Grecia arrivando fino ad Agrigento dove Empedocle volle conoscerlo di persona e studiò con lui a Kroton.
Purtroppo a causa dei contrasti con Sibari, una fazione del popolo ne approfittò per suscitare una rivolta democratica e i pitagorici furono scacciati o uccisi.
Si dice che i maggiori rappresentati della Scuola fossero riuniti a casa del campione Olimpico Milone e che la casa fu data alle fiamme.
Nell'incendio persero tutti la vita, ma secondo un'altra versione Pitagora fuggì a Metaponto dove si lasciò morire di fame.




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