La Matematica dell'infinito

La Matematica dell'infinito

L'inquietante storia dell'infinito.

Da Aristotele, Gauss e la rigida opposizione di Kronecker fino al paradiso di Cantor e all'ospitale albergo di Hilbert. Poi venne Gödel. Con i suoi teoremi di incompletezza, i matematici riescono a dimostrare l'esistenza sia di Dio che del diavolo: Dio esiste perché la Matematica esiste, il diavolo esiste perché non se ne riesce a provare la coerenza.

Introduzione

Accostare Infinito e Matematica può sembrare collegamento azzardato.

L'Infinito, come pure il suo corrispondente temporale, l'Eterno, è tema adeguato per Religione, Filosofia o Letteratura, ma forse non per la scienza positiva. Meno che mai per la più positiva delle scienze e cioè la Matematica.

Del resto, l'Infinito (in-definito, in-determinato) è, per sua stessa etimologia e natura, ed anche per la comune opinione, ciò che sfugge ad ogni possibile classificazione e misura, mentre la Matematica tende a (e pretende di) classificare e misurare ogni oggetto che esamina.

Dunque, l'Infinito non è argomento da Matematica.

In effetti, secondo una visione che risale ai tempi dell'antica Grecia e che si è mantenuta radicata nei secoli fin quasi ai nostri giorni, la Matematica è la scienza dei numeri naturali 0, 1, 2, ..., semmai allargata a quegli insiemi numerici - gli interi, i razionali - che ai naturali sono direttamente collegati.

Pitagora sosteneva che il numero (naturale) è la base di tutto.

Oltre due millenni dopo, Kronecker (1832-1891) ribadiva che gli interi positivi sono i soli numeri creati da Dio a voler significare che trattare altri contesti non standard, come quello dei reali, era quasi sacrilego.

Dunque la Matematica va a combaciare, in questa prospettiva, con l'Aritmetica dei numeri 0, 1, 2, ...: tutti rigorosamente finiti per natura e rappresentazione (a differenza dei reali, che scomodano allineamenti decimali senza limiti e confini). Si conferma così che non c'è spazio comune per Matematica e Infinito.

Eppure, a smentire tutte queste pur ragionevoli premesse, va detto che la Matematica è stata capace nella sua storia più recente di intuire, accarezzare ed anche misurare l'Infinito, fin quasi a sognare di dominarlo completamente. Questo è il tema che vogliamo trattare.

Contare o confrontare?

Dobbiamo subito parzialmente correggere quanto detto nell'introduzione.

In effetti, se riflettiamo un attimo con maggiore profondità, dobbiamo riconoscere che l'Infinito non è tema completamente e costituzionalmente estraneo alla Matematica.

Gli stessi numeri naturali 0, 1, 2, ... sono sì ciascuno singolarmente finito, ma costituiscono complessivamente un insieme infinito. La loro successione si snocciola senza limitazioni in una strada senza fine.

Tuttavia, come già Aristotele osservava, bisogna esercitare un po' di finezza quando si parla di infinito e distinguere la sua forma potenziale da quella attuale: la prima è umanamente accessibile, la seconda no. In altre parole, possiamo certamente convenire che ci sono successioni senza termine di oggetti matematici, quali i numeri naturali, ed abbracciarne con la nostra percezione porzioni comunque grandi (l'infinito potenziale di cui sopra); ma, quanto ad afferrarne la totalità ed ad identificarla completamente come singolo ente (l'infinito attuale), ebbene, questo è un altro discorso, inaccessibile ai limiti della nostra mente umana.

Per dirla in latino e dare così maggiore autorità alla citazione: infinitum actu non datur.

Questo era il pensiero di Aristotele e, come tutti sappiamo, si trattava di opinione autorevole, non solo ai tempi dell'antica Grecia ma nei lunghi secoli successivi.

Del resto, ancora nel 1831 (di nuovo, due millenni dopo Aristotele), colui che è comunemente riconosciuto il più grande matematico, e cioè Gauss, si esprimeva quasi negli stessi termini del suo illustre predecessore. In una lettera al suo allievo Schumacher, scriveva: “IO DEVO PROTESTARE VEEMENTEMENTE CONTRO L'USO DELL'INFINITO COME QUALCOSA DI DEFINITO: QUESTO NON È PERMESSO IN MATEMATICA. L'infinito è solo un modo di dire, ed intende un limite cui certi rapporti possono approssimarsi vicino quanto vogliono”.

Del resto, nei secoli da Aristotele a Gauss, vari spunti avevano introdotto in Matematica l'esigenza di studiare e definire l'infinito e, se è per questo, anche il suo inverso matematico (l'infinitesimo) nelle loro forme potenziali.

Ad esempio, la necessità di garantire adeguate basi teoriche allo studio delle grandezze fisiche (come la velocità, la accelerazione e così via) aveva indotto già nel secolo diciassettesimo (e forse anche prima) Newton, Leibniz ed altri a fondare - con qualche imprecisione, qualche vaghezza e molte polemiche - il calcolo differenziale, il relativo studio delle derivate e, appunto, l'uso degli infinitesimi.

L'obiettivo era quello di descrivere in termini matematici rigorosi il comportamento di una funzione quando il suo argomento si avvicina indefinitamente ad un punto, o supera ogni barriera verso l'infinito.

Proprio all'epoca di Gauss, l'opera di Cauchy e Weierstrass aveva prodotto (neanche due secoli dopo Newton) una adeguata risposta al problema e una rigorosa introduzione teorica a questo argomento così delicato, tramite il famigerato armamentario di epsilon e di delta che consente la definizione del concetto di limite e che, sgombrata la mente dai ricordi, dalla noia e dai terrori del primo anno di Analisi, si rivela un approccio elegante e profondo all'infinito potenziale in Matematica.

Ma che si può dire del tabù degli infiniti attuali?

Negli stessi secoli, menti autorevoli avevano tentato di avventurarsi in questa zona proibita, avvertendone però le anomalie e concludendo che forse era il caso di lasciar perdere:

è questo il caso di Galileo Galilei e di alcune sue riflessioni contenute nell'opera [1] del 1638 e note con il nome di Paradosso di Galileo.

Galileo considera i numeri naturali 0, 1, 2, 3 ... ed osserva che l'insieme (infinito) dei loro quadrati 0, 1, 4, 9, ... è certamente più piccolo e, pur tuttavia, contiene tanti elementi quanti erano i numeri di partenza, perché ad ogni numero corrisponde in modo biunivoco il suo quadrato.

Galileo conclude: “io non veggo che ad altra decisione si possa venire che a dire infiniti essere tutti i numeri, infiniti i quadrati, ... né la moltitudine de' quadrati essere minore di quella di tutti numeri, né questa essere maggiore di quella, ed, in ultima conclusione, gli attributi di eguale, maggiore e minore non aver luogo negl'infiniti ma solo nelle quantità terminate”, ed aggiunge: “queste son di quelle difficoltà che derivano dal discorrer che noi facciamo col nostro intelletto finito intorno all'infinito, dandogli quegli attributi che noi diamo alle cose finite e terminate; il che penso che sia inconveniente”.

Al di là di questa conclusione, le riflessioni di Galileo contengono, magari solo in germe, suggerimenti stimolanti su come potremmo pretendere di misurare l'infinito.

In effetti, non possiamo contare né i numeri naturali, né i loro quadrati (infiniti sono gli uni, infiniti sono gli altri); pur tuttavia, possiamo confrontarli e stabilire rigorosamente che gli uni sono tanti quanti gli altri, perché c'è una corrispondenza biunivoca tra i loro insiemi.

Per spiegarci con un esempio più semplice, facciamo il caso di un impresario che vuole verificare il successo del suo spettacolo misurandone il pubblico. Può svolgere l'indagine facendosi riferire la capienza del teatro, poi contando il numero dei biglietti venduti e, accertatosi che sono uguali, dichiarare compiaciuto il tutto esaurito. Più rapidamente, può invece sbirciare la sala da dietro il sipario e controllare che ogni spettatore ha la sua poltrona e ogni poltrona il suo spettatore, che non ci sono né posti vuoti né spettatori in piedi e di nuovo rallegrarsene. Per dirla in termini matematici, c'è una biiezione tra l'insieme delle poltrone e quello degli spettatori. Nei teatri del mondo, che sono tutti finiti, l'una e l'altra delle due strategie sono possibili. Se però passiamo ad un contesto infinito, non possiamo pretendere di contare posti e (forse) spettatori né, per riferirci all'esempio di Galileo, numeri e quadrati.

Possiamo tuttavia ancora confrontare i due insiemi coinvolti, stabilire ove possibile una corrispondenza biunivoca tra di loro e dedurre in tal caso che hanno lo "stesso numero" di elementi. È esattamente quel che Galileo fa nella trattazione del suo paradosso.

Dunque, all'infinito possiamo, se non contare, confrontare e decidere se due insiemi sono o no ugualmente numerosi. L'idea è brillante e sottile ed induce alla tentazione di approfondire. Pur tuttavia, c'è una obiezione che sorge abbastanza spontaneamente: ne vale realmente la pena? In effetti, si potrebbe sostenere che gli insiemi infiniti sono tutti, appunto, infiniti, e come tali hanno forzatamente lo stesso numero (infinito) di elementi. È dunque inutile soffermarsi in questo genere di confronti, l'infinito appiattisce tutto. L'esempio dei numeri e dei quadrati (i secondi apparentemente molto minori dei primi) sembra confermarlo.

C'è un altro famoso argomento che corrobora questa impressione e va sotto il nome di Albergo di Hilbert. Si tratta, infatti, di un esempio che David Hilbert (1862-1943) adoperava per divulgare presso i non addetti ai lavori le sottigliezze di questa analisi dell'infinito. Lo ricordiamo brevemente.

Gli alberghi di questo mondo sono tutti finiti (come del resto i teatri). Supponiamo allora di avere un albergo completo, in cui ogni stanza N ha già il suo ospite N. Se ad un'ora della notte arriva un nuovo cliente in cerca di sistemazione, il portiere dovrà dichiarargli con rammarico di non poterlo ospitare ed indirizzarlo ad altro ricovero. Ma ammettiamo per un attimo di volare nell'albergo del Paradiso (magari non a titolo definitivo, ma solo per prenderci un caffè): l'albergo è ovviamente infinito, come si addice a tutto quel che è trascendente. Gli ospiti che lo popolano sono anch'essi infiniti (come San Giovanni stesso assicura con la sua autorità nell'Apocalisse, Capitolo 7, versetto 9) e lo riempiono completamente. Abbiamo dunque il problema di trovare un posto. "Non preoccupatevi" ci direbbe San Pietro "sistemiamo: l'ospite 0 nella camera 1, l'ospite 1 nella camera 2, ... l'ospite N nella camera N+1, ... e vi liberiamo la camera 0". Il tutto è lecito perché l'albergo è infinito. Di più, tra i requisiti della santità c'è anche quello della pazienza e i vari trasferimenti di camera dovrebbero essere accettati con serenità e senza polemiche. Dunque, ogni nuovo ospite trova il suo posto.

Per uscir dalla metafora ed usare termini matematici, quanto l'argomento di Hilbert sottolinea è che un insieme infinito, come quello dei naturali, possa avere tanti elementi quanti un suo sottoinsieme proprio, come quello che se ne ottiene dimenticando 0. La funzione successore, quella che trasforma ogni naturale N in N+1 è una corrispondenza biunivoca tra i naturali e i naturali maggiori di 0; togliere l'elemento 0 non diminuisce il numero complessivo dei punti rimanenti.

Altri esempi storici sostengono il nostro assunto sulla apparente piattezza dell'infinito.

Ad esempio, nella sua opera postuma Paradossi dell'infinito, Bolzano (1781-1848) osservava come il segmento chiuso [0, 5] della retta reale ha tanti punti quanto l'evidentemente più grande intervallo [0, 12], la corrispondenza biunivoca tra i due essendo stabilita dalla funzione che trasforma ogni x nei suoi dodici quinti.

Ma chi diede la svolta fondamentale e decisiva all'intera questione fu Georg Cantor (1845-1918).

Lo spunto che lo condusse ad approfondire il tema fu lo sviluppo in serie di Fourier delle funzioni e l'unicità dei relativi coefficienti. La sua analisi lo portò ad individuare e classificare alcuni insiemi di reali che non soddisfacevano questo risultato di unicità e, conseguentemente, a valutare quanto "piccoli" e trascurabili fossero questi controesempi a confronto dell'intera collezione dei reali.

Prendendo spunto da questa problematica, Cantor considerò varie coppie di sottoinsiemi infiniti della retta reale R (e non solo) cercando possibili biiezioni. Ad esempio, osservò che ci sono tanti punti nell'intera retta quanti nel segmento aperto ]0, 1[ (che pure è per altri aspetti enormemente più piccolo). La precedente osservazione di Bolzano ed un minimo di trigonometria ci aiutano infatti a definire una biiezione: ]0, 1[ è in corrispondenza biunivoca con l'intervallo aperto ]-π/2, π/2[ tramite la funzione che trasforma ogni reale x tra 0 e 1 in πx-π/2 e dunque prima allarga, al modo di Bolzano, ]0, 1[ a ]0, π [, e poi trasla quest'ultimo segmento di - π/2 portandolo come richiesto su ]- π/2, π/2[. A questo punto, ci ricordiamo che la funzione tangente, ristretta all'intervallo ]- π/2, π/2[, ne determina una biiezione con l'intero R. Opportune manipolazioni provano poi che il segmento aperto ]0, 1[ è in corrispondenza con il segmento chiuso [0, 1], o anche con [0, 1[, ]0, 1] e, in definitiva, con ogni intervallo chiuso, aperto o semiaperto dell'intera retta. Altrettanto vale per l'intero insieme R.

Altri casi furono esplorati da Cantor.

Ne elenchiamo alcuni particolarmente significativi.

L'insieme N dei naturali 0, 1, 2, ... si potrebbe valutare ad occhio come la metà dell'insieme Z di tutti gli interi ...-2, -1, 0, 1, 2, ...; ma sono infiniti entrambi, ed in effetti è possibile determinare una corrispondenza biunivoca f che li collega. Basta osservare che i naturali, a loro volta, si suddividono a metà tra pari 0, 2, 4, ... e dispari 1, 3, 5, ... e dunque trasformare gli interi non negativi nei primi e quelli negativi nei secondi: in termini rigorosi, porre per ogni x naturale: f(x) = 2x se x ≠ 0, f(x) = -2x -1 altrimenti.

Lo stesso può dirsi di naturali N e razionali Q: tra i due insiemi c'è una corrispondenza biunivoca. La cosa può sembrare a prima vista strana e sorprendente; si potrebbe osservare che l'usuale ordine dei naturali ha un primo elemento 0 ed è discreto (ogni elemento ha un suo immediato successore, ogni elemento escluso 0 ammette un immediato predecessore) mentre quello dei razionali non ha estremi ed è denso (tra due elementi a

http://matematica-old.unibocconi.it/infinito/lettera48.pdf